研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。
赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。
作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。
内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。
所以，沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下：
“巴拿赫空间X的一个非空子集C称为逼近紧的，是指对任意∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得
‖xn-y‖→dist=inf，
那么∞n=1就存在一个柯西列，称X是逼近紧的，且X的每个闭凸子集是逼近紧。”
“思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间X是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。
巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。
“没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅，聪明人不废话，数学家不啰嗦。
“需要我做什么？”穆勒教授问到，并没有摆出教授及导师的架子，他视沈奇为平等的学术合作伙伴，就如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。
在学术上平等对待徒弟的师傅，往往能跟弟子一同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯，他在数学史上的声望评价为负分。
沈奇说到：“巴拿赫空间的RNP性质和鞅理论分析就拜托穆勒教授了，你是这方面的专家。”
“OK，那我们还等什么？分头干活吧，争取一个月之后合稿。”穆勒教授亲力亲为，这毕竟是他最先提出来的一个定理，他要亲手完成这项跨越三十几个春秋、渗透复杂感情的课题。
“OK。”沈奇收拾好资料，准备离开穆勒的办公室，去完成人生中第一个以自己姓氏命名的数学定理。
“对了，明天你去带导修课，这是我的教案备份和学生信息，你熟悉一下。”穆勒递给沈奇一个又厚又重的文件袋。
“看来穆勒教授的一百二十美元并不容易赚到。”沈奇笑了笑，接过文件袋这便离开。
晚上和第二天上午，沈奇开始编写“穆勒-沈定理”他负责的证明部分。
沈奇坚持将自己的姓氏放在后面，以体现对导师的尊重。
一整个下午，沈奇仔细研究穆勒关于非欧几何的教案，这是他的工作的一部分，他是穆勒的助教之一。
穆勒在这个学期负责普大数学系本科生的一门课程，非欧几何。
授课有两种形式，大课以及导修课。
大课通常安排在能容纳一百多名学生的大教室中进行，主讲人是教授。
前美国总统伍德罗-威尔逊在普大当校长时，新增了一个“preceptorial”课程，即导修课，那时是1905年，这门课程一直延续到今天。
导修课实行小班制，通常由助教负责，一个导修班有10-12名学生，最多不超过15名学生。
在导修班上，助教带领本科生们复习最近一周的学业，数学系的导修课大多由解题和讨论构成。
普林斯顿非常重视本科生教育，本科生们上完大课还得上导修课，每一门核心专业课程都设置导修课。
普大本科生的学业繁重，门门功课拿到A，还能泡到妹子或帅哥，又能兼顾社团活动及体育运动，那他或她一定是最优秀的少数派精英。
晚上8点，沈奇抵达小教室，这是他作为助教第一次负责导修课。
一堂导修课一般持续2个小时左右，沈奇能领到120美元的酬劳。
时薪60美元在美国不算低，毕竟沈奇从事的是专业素质较高的脑力劳动。
除了导修课的课时费之外，沈奇也有固定工资，一个月的收入有几千美金，跟外面的白领差不多。
“先生们晚上好，我是沈奇，来自中国，你们的导修课负责人。你们可以叫我沈，或者奇，或者沈奇。来，跟着我念，湿衣嗯沈，妻衣奇，沈~奇~”沈奇对教室中的12位本科二年级学生说到，并在黑板上写出他的名字“Shen-Qi”。
“Sion~Ki~”十二位二年级学生皆是男生，平均年龄20岁，比沈奇小一点点。
“Key，你可真年轻，你是我见过最年轻的助教。”
“嘿，Key，你已经获得PhD了吗？”
“Key，我猜你是双鱼座。”
小师弟们对沈奇的年龄、身份很感兴趣，这么年轻的导修课负责人从没见过呀。
“Shen”对于歪果仁来说较难掌握标准发音，于是师弟们管沈奇叫“Qi”。
因为发音习惯，念着念着，“Qi”就被师弟们念成了“Ki”，跟“钥匙”这个单词的发音一致。在美国英语里，key不发长音，音标就是。
“实际上我正在读博，至于我的年龄，保密。而我的星座，同样保密。”沈奇笑道，这些年轻人朝气蓬勃，充满热情，好奇而兴奋，让他想起了自己的青春岁月。
“你们回答正确一个问题，我就解锁我的一个秘密。”沈奇说到。
“来吧来吧，Key，两小时后你走出教室时，将再无秘密可言。”一位白人学生自信满满的说到，他有着强烈的探知欲。
“虽然是非欧几何的导修课，但我在开始非欧几何的辅导之前，会问几个数学史的问题。我始终认为了解数学史，才能学好数学。”沈奇说到，“我通过花名册已经记住了十二位帅哥的名字，接下来我将逐一点名，我想认识你们中的每一位。”
“斯蒂芬-科里，你昨天进了几个三分球？”沈奇锁定几位白人男生，他觉得斯蒂芬-科里应该在几人之中产生。
“很遗憾，我打的位置是中锋。”一位身高一米八左右的白人男生举了举手，示意自己就是斯蒂芬-科里，这个名字和NBA球星斯蒂芬-库里的发音一模一样，唯一不同的是拼写方法。
“好吧，我们的强力内线斯蒂芬，请告诉我，是谁将欧洲数学从中世纪漫长的黑暗中解救出来的？”沈奇问到。
“毫无疑问，这位救世主是卡丹。”斯蒂芬不假思索的回答到，然后立马询问：“Key，请告诉我，你的年龄是？如果你比我的年龄更小，我将无法接受这个现实！”
“我和斐波那契同年。”沈奇在黑板上写下一行信息，莱昂纳多-斐波那契，1175-1250。
“No-Way！”斯蒂芬作出夸张的样子，他当然知道沈奇不可能和斐波那契同年，他也意识到自己的第一个问题回答错了，是斐波那契拯救了欧洲数学而不是卡丹。
赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。
作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。
内积空间中的内积可以定义范数，而范数不一定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。
所以，沈奇基于穆勒在1982年的一条证明重新定义如下：
“巴拿赫空间X的一个非空子集C称为逼近紧的，是指对任意∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得
‖xn-y‖→dist=inf，
那么∞n=1就存在一个柯西列，称X是逼近紧的，且X的每个闭凸子集是逼近紧。”
“思路逐渐清晰，沈奇你认为一个巴拿赫空间X是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。
巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是一个有难度的领域，不适合初学者接触。
“没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅，聪明人不废话，数学家不啰嗦。
“需要我做什么？”穆勒教授问到，并没有摆出教授及导师的架子，他视沈奇为平等的学术合作伙伴，就如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。
在学术上平等对待徒弟的师傅，往往能跟弟子一同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯，他在数学史上的声望评价为负分。
沈奇说到：“巴拿赫空间的RNP性质和鞅理论分析就拜托穆勒教授了，你是这方面的专家。”
“OK，那我们还等什么？分头干活吧，争取一个月之后合稿。”穆勒教授亲力亲为，这毕竟是他最先提出来的一个定理，他要亲手完成这项跨越三十几个春秋、渗透复杂感情的课题。
“OK。”沈奇收拾好资料，准备离开穆勒的办公室，去完成人生中第一个以自己姓氏命名的数学定理。
“对了，明天你去带导修课，这是我的教案备份和学生信息，你熟悉一下。”穆勒递给沈奇一个又厚又重的文件袋。
“看来穆勒教授的一百二十美元并不容易赚到。”沈奇笑了笑，接过文件袋这便离开。
晚上和第二天上午，沈奇开始编写“穆勒-沈定理”他负责的证明部分。
沈奇坚持将自己的姓氏放在后面，以体现对导师的尊重。
一整个下午，沈奇仔细研究穆勒关于非欧几何的教案，这是他的工作的一部分，他是穆勒的助教之一。
穆勒在这个学期负责普大数学系本科生的一门课程，非欧几何。
授课有两种形式，大课以及导修课。
大课通常安排在能容纳一百多名学生的大教室中进行，主讲人是教授。
前美国总统伍德罗-威尔逊在普大当校长时，新增了一个“preceptorial”课程，即导修课，那时是1905年，这门课程一直延续到今天。
导修课实行小班制，通常由助教负责，一个导修班有10-12名学生，最多不超过15名学生。
在导修班上，助教带领本科生们复习最近一周的学业，数学系的导修课大多由解题和讨论构成。
普林斯顿非常重视本科生教育，本科生们上完大课还得上导修课，每一门核心专业课程都设置导修课。
普大本科生的学业繁重，门门功课拿到A，还能泡到妹子或帅哥，又能兼顾社团活动及体育运动，那他或她一定是最优秀的少数派精英。
晚上8点，沈奇抵达小教室，这是他作为助教第一次负责导修课。
一堂导修课一般持续2个小时左右，沈奇能领到120美元的酬劳。
时薪60美元在美国不算低，毕竟沈奇从事的是专业素质较高的脑力劳动。
除了导修课的课时费之外，沈奇也有固定工资，一个月的收入有几千美金，跟外面的白领差不多。
“先生们晚上好，我是沈奇，来自中国，你们的导修课负责人。你们可以叫我沈，或者奇，或者沈奇。来，跟着我念，湿衣嗯沈，妻衣奇，沈~奇~”沈奇对教室中的12位本科二年级学生说到，并在黑板上写出他的名字“Shen-Qi”。
“Sion~Ki~”十二位二年级学生皆是男生，平均年龄20岁，比沈奇小一点点。
“Key，你可真年轻，你是我见过最年轻的助教。”
“嘿，Key，你已经获得PhD了吗？”
“Key，我猜你是双鱼座。”
小师弟们对沈奇的年龄、身份很感兴趣，这么年轻的导修课负责人从没见过呀。
“Shen”对于歪果仁来说较难掌握标准发音，于是师弟们管沈奇叫“Qi”。
因为发音习惯，念着念着，“Qi”就被师弟们念成了“Ki”，跟“钥匙”这个单词的发音一致。在美国英语里，key不发长音，音标就是。
“实际上我正在读博，至于我的年龄，保密。而我的星座，同样保密。”沈奇笑道，这些年轻人朝气蓬勃，充满热情，好奇而兴奋，让他想起了自己的青春岁月。
“你们回答正确一个问题，我就解锁我的一个秘密。”沈奇说到。
“来吧来吧，Key，两小时后你走出教室时，将再无秘密可言。”一位白人学生自信满满的说到，他有着强烈的探知欲。
“虽然是非欧几何的导修课，但我在开始非欧几何的辅导之前，会问几个数学史的问题。我始终认为了解数学史，才能学好数学。”沈奇说到，“我通过花名册已经记住了十二位帅哥的名字，接下来我将逐一点名，我想认识你们中的每一位。”
“斯蒂芬-科里，你昨天进了几个三分球？”沈奇锁定几位白人男生，他觉得斯蒂芬-科里应该在几人之中产生。
“很遗憾，我打的位置是中锋。”一位身高一米八左右的白人男生举了举手，示意自己就是斯蒂芬-科里，这个名字和NBA球星斯蒂芬-库里的发音一模一样，唯一不同的是拼写方法。
“好吧，我们的强力内线斯蒂芬，请告诉我，是谁将欧洲数学从中世纪漫长的黑暗中解救出来的？”沈奇问到。
“毫无疑问，这位救世主是卡丹。”斯蒂芬不假思索的回答到，然后立马询问：“Key，请告诉我，你的年龄是？如果你比我的年龄更小，我将无法接受这个现实！”
“我和斐波那契同年。”沈奇在黑板上写下一行信息，莱昂纳多-斐波那契，1175-1250。
“No-Way！”斯蒂芬作出夸张的样子，他当然知道沈奇不可能和斐波那契同年，他也意识到自己的第一个问题回答错了，是斐波那契拯救了欧洲数学而不是卡丹。